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2017年8月14日 星期一
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線性代數重要定理
線性代數自用
對角化出處:http://www.topmath.org/university/alg0702.html
實對稱矩陣可對角化(特徵值為實數)
設 ,, 且 。等號兩邊同取共軛,就有 ,再取轉置,
。
因為 是實對稱矩陣,,便有
。
將上式右乘 並代入特徵方程式,等號左邊為
,
等號右邊為 ,合併即得
。
出處: https://ccjou.wordpress.com/2011/02/09/%E5%AF%A6%E5%B0%8D%E7%A8%B1%E7%9F%A9%E9%99%A3%E5%8F%AF%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E5%B0%8D%E8%A7%92%E5%8C%96%E7%9A%84%E8%AD%89%E6%98%8E/
相似矩陣不變性質與證明
性質一:若 相似於 ,則 與 有相同的特徵多項式。
將 代入 的特徵多項式 ,就有
因為特徵值是特徵多項式的根,性質二是性質一的必然結果。
性質二:若 相似於 ,則 與 有相同的特徵值。
設特徵方程式為 ,以 代入上式,
,
等號兩邊左乘 ,
。
雖然 和 有相同的特徵值 ,但 的特徵向量為 ,此即 參考基底 的座標向量。
行列式是所有特徵值的積,跡數 (trace) 是所有特徵值的和,性質三是性質二的必然結果。
性質三:若 相似於 ,則 且 。
下一個性質是關於矩陣秩。
性質四:若 相似於 ,則 。
對任意矩陣左乘或右乘一個可逆矩陣不改變原矩陣的秩,故
。
下面提供詳細的向量空間分析證明。設 為一可逆矩陣使得 。若 屬於 的行空間,記為 ,即存在 滿足 ,則 意味 。換句話說, 屬於 ,推得
。
因為 是一可逆線性變換,。所以,。利用相似變換的對稱性,立知 。合併上面結果,證明 。
PS(A的反矩陣B,DET(A)*DET(B)=1)
出處:
https://ccjou.wordpress.com/2010/01/08/%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E8%AE%8A%E6%8F%9B%E4%B8%8B%E7%9A%84%E4%B8%8D%E8%AE%8A%E6%80%A7%E8%B3%AA/
行列式相關證明
https://ccjou.wordpress.com/%E6%80%A5%E6%95%91%E6%9F%A5%E8%A9%A2/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/
A*B B*A有相同特徵值*****
出處:
https://books.google.com.tw/books?id=EnYwAkyvhdIC&pg=PA268&lpg=PA268&dq=A*B+B*A%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%B5%E5%80%BC&source=bl&ots=vBJcYXP4bu&sig=JdlwjlDYCDJ_6rTytM8kqg4oi_o&hl=zh-CN&sa=X&ved=0ahUKEwjCuZvI6oHOAhULG5QKHRxsA2kQ6AEITTAH#v=onepage&q=A*B%20B*A%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%B5%E5%80%BC&f=false
Rank相關證明
https://ccjou.wordpress.com/?s=rank
https://ccjou.wordpress.com/2009/09/22/%E5%88%A9%E7%94%A8%E5%AD%90%E7%A9%BA%E9%96%93%E4%B9%8B%E5%92%8C%E8%AD%89%E6%98%8E-rankab%E2%89%A6rank-arank-b/
rank(A*A')=rank(A)
出處:
http://math.stackexchange.com/questions/349738/prove-rank-ata-rank-a-for-any-a-m-times-n
線性轉換旋轉
出處:
http://math1.ck.tp.edu.tw/%E9%99%B3%E5%98%AF%E8%99%8E/%E5%B0%8F%E8%99%8E/99%E8%AA%B2%E7%B6%B1/%E7%AC%AC%E5%9B%9B%E5%86%8A/%E9%87%8D%E9%BB%9E/99%E8%AA%B2%E7%B6%B1%E6%95%99%E5%AD%B8%E9%87%8D%E9%BB%9E%E6%95%B4%E7%90%864-3-4%E7%9F%A9%E9%99%A3-%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E6%96%B9%E9%99%A3%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E7%9A%84%E7%B7%9A%E6%80%A7%E8%AE%8A%E6%8F%9B.pdf
http://math.nsysu.edu.tw/ezfiles/87/1087/img/495/605.pdf(微分方程聯立方程)
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%B1%E8%90%8A%EF%BC%8D%E5%93%88%E5%AF%86%E9%A0%93%E5%AE%9A%E7%90%86(凱萊定理)
行列式相關證明
https://ccjou.wordpress.com/%E6%80%A5%E6%95%91%E6%9F%A5%E8%A9%A2/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/
A*B B*A有相同特徵值*****
https://books.google.com.tw/books?id=EnYwAkyvhdIC&pg=PA268&lpg=PA268&dq=A*B+B*A%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%B5%E5%80%BC&source=bl&ots=vBJcYXP4bu&sig=JdlwjlDYCDJ_6rTytM8kqg4oi_o&hl=zh-CN&sa=X&ved=0ahUKEwjCuZvI6oHOAhULG5QKHRxsA2kQ6AEITTAH#v=onepage&q=A*B%20B*A%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%B5%E5%80%BC&f=false
Rank相關證明
https://ccjou.wordpress.com/?s=rank
https://ccjou.wordpress.com/2009/09/22/%E5%88%A9%E7%94%A8%E5%AD%90%E7%A9%BA%E9%96%93%E4%B9%8B%E5%92%8C%E8%AD%89%E6%98%8E-rankab%E2%89%A6rank-arank-b/
rank(A*A')=rank(A)
出處:
http://math.stackexchange.com/questions/349738/prove-rank-ata-rank-a-for-any-a-m-times-n
出處:http://math.stackexchange.com/questions/676333/prove-that-if-ranka-n-then-rankab-rankb
線性轉換旋轉
出處:
http://math1.ck.tp.edu.tw/%E9%99%B3%E5%98%AF%E8%99%8E/%E5%B0%8F%E8%99%8E/99%E8%AA%B2%E7%B6%B1/%E7%AC%AC%E5%9B%9B%E5%86%8A/%E9%87%8D%E9%BB%9E/99%E8%AA%B2%E7%B6%B1%E6%95%99%E5%AD%B8%E9%87%8D%E9%BB%9E%E6%95%B4%E7%90%864-3-4%E7%9F%A9%E9%99%A3-%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E6%96%B9%E9%99%A3%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E7%9A%84%E7%B7%9A%E6%80%A7%E8%AE%8A%E6%8F%9B.pdf
http://math.nsysu.edu.tw/ezfiles/87/1087/img/495/605.pdf(微分方程聯立方程)
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%B1%E8%90%8A%EF%BC%8D%E5%93%88%E5%AF%86%E9%A0%93%E5%AE%9A%E7%90%86(凱萊定理)
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